第11章 多维空间

例 2 考察函数 “向第 $i$ 个坐标轴投影”: $$ f\left( x\right) = f\left( {{x}^{1},\cdots ,{x}^{m}}\right) \mathrel{\text{ := }} {x}^{i}. $$ 对于 $a = \left( {{a}^{1},\cdots ,{a}^{m}}\right) \in {\mathbb{R}}^{m}$ ,显然有 $$ \left| {f\left( x\right) - {a}^{i}}\right| = \left| {{x}^{i} - {a}^{i}}\right| \leq \parallel x - a\parallel . $$ 因而 $$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}f\left( x\right) = {a}^{i}. $$ 定理 1 设 $D \subset {\mathbb{R}}^{m},a$ 是 $D$ 的一个聚点, $m$ 元函数 $f$ 和 $g$ 在 $\check{U}\left( {a,\eta }\right) \cap D$ 有定义, $A,B \in \mathbb{R}$ . 如果 $$ \mathop{\lim }\limits_{\substack{{x \rightarrow a} \\ D }}f\left( x\right) = A,\;\mathop{\lim }\limits_{\substack{{x \rightarrow a} \\ D }}g\left( x\right) = B, $$ 那么就有 (1) $\mathop{\lim }\limits_{\substack{{x \rightarrow a} \\ D }}\left\lbrack {f\left( x\right) + g\left( x\right) }\right\rbrack = A + B$ ; (2) $\mathop{\lim }\limits_{\substack{{x \rightarrow a} \\ D }}\left\lbrack {f\left( x\right) g\left( x\right) }\right\rbrack = {AB}$ ； (3) $\mathop{\lim }\limits_{\substack{{x \rightarrow a} \\ D }}\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) } = \frac{A}{B}\left( {B \neq 0}\right)$ .

例 4 考察二元函数 $$ f\left( {x,y}\right) = \frac{{x}^{2}{y}^{2}}{{x}^{2} + {y}^{2}}\;\left( {\left( {x,y}\right) \neq \left( {0,0}\right) }\right) . $$ 试讨论 $\left( {x,y}\right) \rightarrow \left( {0,0}\right)$ 时这函数的极限状况.

例 5 考察二元函数 $$ f\left( {x,y}\right) = \frac{xy}{{x}^{2} + {y}^{2}}\;\left( {\left( {x,y}\right) \neq \left( {0,0}\right) }\right) . $$ 试讨论 $\left( {x,y}\right) \rightarrow \left( {0,0}\right)$ 时这函数的极限状况.

例 6 考察二元函数 $$ f\left( {x,y}\right) = \frac{{x}^{2}y}{{x}^{4} + {y}^{2}}\;\left( {\left( {x,y}\right) \neq \left( {0,0}\right) }\right) . $$ 试讨论 $\left( {x,y}\right) \rightarrow \left( {0,0}\right)$ 时这函数的极限状况.

例 1 考察定义于 ${\mathbb{R}}^{m}$ 上的函数 $$ {N}_{0}\left( x\right) = \max \left\{ {\left| {x}^{1}\right| ,\cdots ,\left| {x}^{m}\right| }\right\} , $$ $$ {N}_{1}\left( x\right) = \left| {x}^{1}\right| + \cdots + \left| {x}^{m}\right| , $$ $$ {N}_{2}\left( x\right) = \sqrt{{\left( {x}^{1}\right) }^{2} + \cdots + {\left( {x}^{m}\right) }^{2}}, $$ $$ \forall x = \left( {{x}^{1},\cdots ,{x}^{m}}\right) \in {\mathbb{R}}^{m}. $$ 容易验证: ${N}_{0},{N}_{1}$ 和 ${N}_{2}$ 都是 ${\mathbb{R}}^{m}$ 的范数. 今后,我们将分别用记号 $\left| \cdot \right| ,\left| \cdot \right|$ 和 $\begin{Vmatrix}\cdot \end{Vmatrix}$ 表示范数 ${N}_{0},{N}_{1}$ 和 ${N}_{2}$ . 这就是说,我们约定记: $$ \left| x\right| = \max \left\{ {\left| {x}^{1}\right| ,\cdots ,\left| {x}^{m}\right| }\right\} , $$ $$ \left| \mathbf{x}\right| = \left| {x}^{1}\right| + \cdots + \left| {x}^{m}\right| , $$ $$ \parallel x\parallel = \sqrt{{\left( {x}^{1}\right) }^{2} + \cdots + {\left( {x}^{m}\right) }^{2}}, $$ $$ \forall x = \left( {{x}^{1},\cdots ,{x}^{m}}\right) \in {\mathbb{R}}^{m}. $$ 注记 在有的文献中, 采用这样的记号: $$ \parallel x{\parallel }_{\infty } = \max \left\{ {\left| {x}^{1}\right| ,\cdots ,\left| {x}^{m}\right| }\right\} , $$ $$ \parallel x{\parallel }_{1} = \left| {x}^{1}\right| + \cdots + \left| {x}^{m}\right| , $$ $$ \parallel x{\parallel }_{2} = \sqrt{{\left( {x}^{1}\right) }^{2} + \cdots + {\left( {x}^{m}\right) }^{2}}, $$ $$ \forall x = \left( {{x}^{1},\cdots ,{x}^{m}}\right) \in {\mathbb{R}}^{m}. $$ 设 $N$ 是 ${\mathbb{R}}^{m}$ 的任何一个范数,则 $N$ 在 ${\mathbb{R}}^{m}$ 中决定了一种距离 $$ {d}_{N}\left( {x,y}\right) = N\left( {x - y}\right) ,\;\forall x,y \in {\mathbb{R}}^{m}. $$ 按这距离又可以定义 ${\mathbb{R}}^{m}$ 中点列的收敛性和 $m$ 元函数的连续性. 这样定义的收敛性和连续性称为按照范数 $N$ 的 (或者说按照距离 ${d}_{N}$ 的)收敛性和连续性. 值得庆幸的是,对于 ${\mathbb{R}}^{m}$ 来说,用任何一种范数决定的收敛性 (以及函数的连续性), 都是完全一样的. 为说明这一点, 先要介绍等价范数的概念. 定义 2 设 $M$ 和 $N$ 都是 ${\mathbb{R}}^{m}$ 的范数. 如果存在正实数 $a$ 和 $A$ ,使得 $$ {aM}\left( x\right) \leq N\left( x\right) \leq {AM}\left( x\right) ,\;\forall x \in {\mathbb{R}}^{m}, $$ 那么我们就说范数 $N$ 与范数 $M$ 等价. 注记 范数的等价是一种具有反身性, 对称性和传递性的关系: (1)显然有 $$ M\left( x\right) \leq M\left( x\right) \leq M\left( x\right) ,\;\forall x \in {\mathbb{R}}^{m}, $$ 因而 $M$ 与 $M$ 自身是等价的 (反身性). (2)如果范数 $N$ 与范数 $M$ 等价 $$ {aM}\left( x\right) \leq N\left( x\right) \leq {AM}\left( x\right) ,\;\forall x \in {\mathbb{R}}^{m}, $$ 那么显然有 $$ \frac{1}{A}N\left( x\right) \leq M\left( x\right) \leq \frac{1}{a}N\left( x\right) ,\;\forall x \in {\mathbb{R}}^{m}, $$ 即范数 $M$ 也与范数 $N$ 等价. 这说明范数的等价具有对称性. (3)如果范数 $N$ 与范数 $M$ 等价,范数 $P$ 与范数 $N$ 等价 $$ {aM}\left( x\right) \leq N\left( x\right) \leq {AM}\left( x\right) ,\;\forall x \in {\mathbb{R}}^{m}, $$ $$ {bN}\left( x\right) \leq P\left( x\right) \leq {BN}\left( x\right) ,\;\forall x \in {\mathbb{R}}^{m}, $$ 那么 $$ \operatorname{baM}\left( x\right) \leq P\left( x\right) \leq {BAM}\left( x\right) ,\;\forall x \in {\mathbb{R}}^{m}, $$ 即范数 $P$ 与范数 $M$ 等价. 这说明范数的等价具有传递性. 按照数学中的惯例, 只有那些具有反身性, 对称性和传递性的关系, 才被冠以 “等价”这样的称呼. 定理 1 按照等价的范数 $N$ 和 $M$ 决定的收敛性 (及连续性) 是完全一样的.

例 4 设 $X$ 是 ${\mathbb{R}}^{m}$ 的非空闭子集. 用 ${\mathbb{R}}^{m}$ 的任何一种范数 $N$ 在 $X$ 上定义距离 $$ d\left( {x,y}\right) = N\left( {x - y}\right) ,\;\forall x,y \in X. $$ 这样得到的距离空间(X, d)也是完备的. 定义 12 设(X, d)是距离空间, $\varphi : X \rightarrow X$ 是一个映射. 如果存在 $\alpha \in \lbrack 0,1)$ ,使得 $$ d\left( {\varphi \left( x\right) ,\varphi \left( y\right) }\right) \leq {\alpha d}\left( {x,y}\right) ,\;\forall x,y \in X, $$ 那么我们就说 $\varphi$ 是一个压缩映射. 注记 显然压缩映射都是连续映射. 设 $X$ 是一个集合, $\varphi : X \rightarrow X$ 是一个映射. 如果 $\xi \in X$ 使得 $$ \varphi \left( \xi \right) = \xi , $$ 那么我们就说 $\xi$ 是映射 $\varphi$ 的一个不动点. 下面的重要定理被称为压缩映射原理或者巴拿赫(Banach)不动点原理. 定理 5 完备距离空间(X, d)的压缩映射 $\varphi$ 必定有唯一的不动点.

例 2 考察 $\mathbb{R}$ 中的有界闭集 $$ K = \left\lbrack {-2, - 1}\right\rbrack \cup \left\lbrack {1,2}\right\rbrack $$ 和定义于 $K$ 上的函数 $$ f\left( x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} - 1, & x \in \left\lbrack {-2, - 1}\right\rbrack , \\ 1, & x \in \left\lbrack {1,2}\right\rbrack . \end{array}\right. $$ 容易看出: $f$ 在 $K$ 上连续,但却不具有介值性质 (请读者自己验证). 要说明一个集合是否 “连成一片”, 有若干种方法. 我们这里只介绍其中最简单的一种一一路径连通. 设 $T \subset \mathbb{R},E \subset {\mathbb{R}}^{m}$ ,则 $T$ 和 $E$ 都可以看成距离空间,因而可以讨论映射 $$ \varphi : T \rightarrow E $$ 的连续性. 因为 $$ \mathop{\max }\limits_{{1 \leq j \leq m}}\left| {{\varphi }^{j}\left( t\right) - {\varphi }^{j}\left( {t}_{0}\right) }\right| \leq \begin{Vmatrix}{\varphi \left( t\right) - \varphi \left( {t}_{0}\right) }\end{Vmatrix} $$ $$ \leq \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{m}\left| {{\varphi }^{j}\left( t\right) - {\varphi }^{j}\left( {t}_{0}\right) }\right| , $$ 所以映射 $\varphi \left( t\right) = \left( {{\varphi }^{1}\left( t\right) ,\cdots ,{\varphi }^{m}\left( t\right) }\right)$ 在 ${t}_{0}$ 连续的充要条件是: 它的各分量 ${\varphi }^{j}\left( t\right)$ 都在 ${t}_{0}$ 连续 $\left( {j = 1,\cdots ,m}\right)$ . 定义 1 设 $E \subset {\mathbb{R}}^{m},{x}_{0},{x}_{1} \in E$ ,并设 $$ \gamma : \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \rightarrow E $$ 是一个连续映射, 满足条件 $$ \gamma \left( 0\right) = {x}_{0},\;\gamma \left( 1\right) = {x}_{1}, $$ 则称 $\gamma$ 为 $E$ 中联结 ${x}_{0}$ 和 ${x}_{1}$ 的一条路径. 注记 “路径”的直观几何形象就是联结给定两点的一条连续曲线. 定义 2 设 $E \subset {\mathbb{R}}^{m}$ . 如果对任何 ${x}_{0},{x}_{1} \in E$ ,都至少存在 $E$ 中联结这两点的一条路径,那么我们就说 $E$ 是路径连通的. 空集 $\varnothing$ 也被认为是路径连通的. 定理 1 设 $E$ 是 ${\mathbb{R}}^{m}$ 中的路径连通子集,函数 $f$ 在 $E$ 上连续,则 $f$ 具有介值性质.

例 2 开方块 $$ I = \left\{ {\left( {{x}^{1},\cdots ,{x}^{m}}\right) {\mathbb{R}}^{m} \in \mid {a}^{i} < {x}^{i} < {b}^{i},i = 1,\cdots ,m}\right\} $$ 是 ${\mathbb{R}}^{m}$ 中的开集. 定理 3 设 $\Omega$ 是 ${\mathbb{R}}^{m}$ 中的开集, $$ f : \Omega \rightarrow {\mathbb{R}}^{p} $$ 是一个映射. 则 $f$ 在 $\Omega$ 连续的充要条件是: 对于 ${\mathbb{R}}^{p}$ 中的任何开集 $H$ ,集合 $$ G = {f}^{-1}\left( H\right) $$ 都是 ${\mathbb{R}}^{m}$ 中的开集.